Całka Daniella-Stone’a

Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

Definicja

Niech $E$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał $\mu \in E^{\star }$ nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej $E\ni f\geqslant 0$ zachodzi $\mu (f)\geqslant 0.$

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji $E$ nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny $E$ nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast $\mu (f)$ całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

$\int fd\mu ,\;\int \limits _{X}f(x)d\mu (x),\;\operatorname {(D)} \int fd\mu .$

Przykłady

• Niech $X$ będzie przedziałem liczbowym postaci $[a,b];$ E=C([a,b]), tzn. $E$ jest przestrzenią funkcji ciągłych na $[a,b].$ W przypadku, gdy

$\mu (f):=\int \limits _{[a,b]}f(x)dx,$

to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.

• Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech $E=C_{0}(X)$ oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na $X.$ Jeśli $\mu$ jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego $\mu$ jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej $X.$
• W poprzednim przykładzie przyjmijmy $X=\mathbb {N} .$ Niech $C_{0}(\mathbb {N} )$ będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla $f\in C_{0}(\mathbb {N} )$ można przyjąć

$\mu (f):=\sum _{n=1}^{\infty }f(n).$

• Niech $X$ będzie zbiorem niepustym oraz $E$ niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na $X.$ Ponadto niech dany będzie punkt $x_{0}$ ze zbioru $X.$ Dla $f\in E$ można zdefiniować $\mu (f):=f(x_{0});$ inne oznaczenie (por. delta Diraca), to

$\mu (f)=\delta _{x_{0}}(f).$

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce
• Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918. Brak numerów stron w książce